本系列研讨课由法国国家科学研究中心研究主任-巴黎高师让·丕平研究中心成员Michela Malpangotto教授主讲，Malpangotto教授主要从事以天文史和数学史为主的科学史研究，及科学史与人文主义之间的互动。在本次系列课程中，教授通过对特定著作及其作者的研究，聚焦于以往在科学史中被忽略或被称为黑暗时代的十五至十六世纪，也就是中世纪晚期，重新审视这一时期的天文学史、数学史和科学史。Madame Michela Malpangotto est une historienne des sciences spécialisée dans l'histoire de l'astronomie et des mathématiques, ainsi que dans leurs interactions avec l'humanisme. Elle occupe le poste de directrice de recherche au Centre national de la recherche scientifique (CNRS) et est membre du Centre Jean Pépin à l'École normale supérieure. Dans cette série de conférences, elle porte son attention sur les quinzième et seizième siècles, la fin du Moyen Âge, qui a souvent été négligé car considéré comme une période sans intérêt pour un renouveau dans l'histoire des sciences. Elle revisite l'histoire de l'astronomie, des mathématiques et des sciences dans cette période à travers l'étude d'œuvres spécifiques et de leurs auteurs.
Directrice de recherche au Centre national de la recherche scientifique (CNRS) 《乔治·皮尔巴赫的〈天文学新理论〉在天文学史中的地位》（法国国家科学研究中心出版社，2021）
《从古代到文艺复兴：〈狄奥多修斯的《球面学》〉传承中的图形选择和几何思想》（《精密科学史档案》，2010年，第64期，第75—112页）
《哥白尼研究的最初动机：布鲁泽沃的阿尔伯特〈对乔治·波伊巴赫的《天文学新理论》的评论〉》（《精密科学史档案》，2016年，第70期，第361–411页）
Principales publications :Theoricae novae planetarum Georgii Peurbachii dans l’histoire de l’astronomie. (CNRS éditions, 2021)
«The original motivation for Copernicus’s research: Albert of Brudzewo’s Commentariolum super Theoricas novas Georgii Purbachii», Archive for History of Exact Sciences, 70, 2016, p. 361–411
«Graphical Choices and Geometrical Thought in the Transmission of Theodosius’ Spherics from Antiquity to the Renaissance», Archive for the History of Exact Sciences, 64, 2010, p. 75-112
第一讲 前哥白尼时代的革命：乔治·冯·波伊巴赫之《天文学新理论》（15-17世纪）
1. Une révolution avant Copernic : L’astronomie pré-copernicienne issue des Theoricæ novæ de Georg Peurbach (XVe-XVIIe s.)
历史学通常视尼古拉·哥白尼，这位独树一帜的天才，和他创新大胆的著作《天体运行论》为科学革命以及现代科学的开端。实际上，中世纪与现代科学开端之间的关联与科学革命开始的原因始终是待解决的难题。本讲围绕乔治·冯·波伊巴赫（Georg Peurbach，1423-1461）及其著作《天文学新理论》（les Theoricæ novæ）展开，以及Malpangotto教授为何认为波伊巴赫及其著作构成了一个新天文学时期的源头，这个时期可称为前哥白尼时期。Les historiens ont souvent considéré Copernic, comme un génie isolé, et associé son travail innovant et audacieux, le De Revolutionibus Orbium Cœlestium, au début de la révolution scientifique et de la science moderne. En réalité, le lien entre le Moyen Âge et les débuts de la science moderne, ainsi que les origines du début de la révolution scientifique, sont des questions difficiles à appréhender. La séance se concentre sur les recherches de Mme Malpangotto sur l'œuvre de Georg Peurbach (1423-1461) et son ouvrage, les Theoricæ novæ en mettant en avant les raisons pour lesquelles Mme Malpangotto considère ce texte à l’origine d’une nouvelle astronomie que l’on peut considérer pré-copernicienne.
《天文学新理论》为1454年波伊巴赫在维也纳公学高等教育执教期间，为其“天文学”课程所编写的教材。在他去世后，由他的学生雷格蒙塔努斯（Regiomontanus）修订整理出版。这本著作的出现为天文学带来了一次真正的革命，这场革命不仅早于一个世纪以后哥白尼与《天体运行论》掀起的风浪，还是其必不可少的准备阶段。Les Theoricæ novæ ont été rédigées en 1454 par Peurbach. Après sa mort, elles ont été publiées dans une version révisée par l’élève de Peurbach, Regiomontanus. La publication des Theoricæ novæ a provoqué une véritable révolution dans le domaine，précédant et constituant une étape préparatoire essentielle au bouleversement provoqué par Copernic un siècle plus tard.在波伊巴赫以前，两种相对的理论体系统治着天文学。一种是自亚里士多德以来的自然哲学体系，也就是后来的天体物理。另一种则是以托勒密《至大论》为首的抽象数学建构体系。这两种无法调和的中世纪天文学传统在波伊巴赫的《天文学新理论》中合二为一。波伊巴赫保留了亚里士多德的实体同心圆基础，以托勒密《至大论》的数学体系作为理论框架，在此基础上重新构建出——根据波伊巴赫本人在作品序言中指出：“解释天体及其运动的真正结构的新理论。”Avant Peurbach, deux systèmes du monde opposé dominaient : la philosophie naturelle -plus tard physique céleste- depuis Aristote, d’une part, et le système mathématique de l’Almageste de Ptolémée. Ces deux traditions que le Moyen Age tenait pour inconciliables se sont fondues en une seule dans les Theoricæ novæ de Peurbach. En effet Peurbach maintient le principe d’un univers formé de sphères concentriques d'Aristote et utilise le système mathématique de l’Almageste de Ptolémée comme cadre théorique pour construire « La Théorique nouvelle qui explique la structure réelle des sphères célestes et de leurs mouvements », selon les mots du même Peurbach.现代学者并没有重视波伊巴赫的这本著作及其中所描绘的宇宙，因为后者仍停留在地心说，并因此将其归为中世纪晚期文化枯竭，天文学停滞不前的一部分。但实际上，《天文学新理论》在当时引发了热烈讨论，激起了学者们对天体研究的浓厚兴趣。他引发的热潮几乎蔓延至所有关心天文学的文化中心和群体中。Les chercheurs modernes ont accordé peu d'attention à cet ouvrage de Peurbach et à l’univers qu’il y décrit car il demeure géocentrique et pour cela le classant dans la catégorie de l'épuisement culturel de la fin du Moyen Âge, une période où l'astronomie n'était pas capable de s’innover. En réalité, Les Theoricæ novæ a suscité l'intérêt des chercheurs contemporains.波伊巴赫理论的中立性使他能够被不同立场的学者团体所接受：如托勒密的支持者，新教改革者，帕多瓦阿维罗主义者和天主教的多米尼克派等。《天文学新理论》也成功进入了著名学者的图书馆中，这些学者极大地推动了人文主义传播，如意大利红衣主教贝萨利翁（Bessarion）。这本著作在各个人文主义文化中心和大学中生根发芽，被采用、研究、评注、翻译、重印及发展。
La neutralité des théories de Peurbach leur a permis d'être acceptées par des groupes d'érudits ayant des positions différentes, tels que les partisans de Ptolémée, les réformateurs protestants, les averroïstes de Padoue et les Dominicains catholiques, entre autres. Cet ouvrage a également réussi à trouver sa place dans les bibliothèques d'éminents savants qui ont contribué à la diffusion de l'humanisme, comme le cardinal Bessarion. L'œuvre s'est enracinée dans divers centres culturels et universités humanistes, où elle a été adoptée, étudiée, commentée, traduite, réimprimée et développée.教授针对这一现象列举了一系列事实，其中提到在克拉科夫，布鲁泽沃的阿尔伯特（Albert de Brudzewo）对《天文学新理论》的注解成为该大学天文学教学内容，在这之后的几十年一直由不同的教师讲授，形成了独特的思想流派，而年轻的哥白尼就曾在此学习。这无疑对他之后研究工作和 “大胆”的选择产生了影响。Mme Malpangotto a cité plusieurs exemples, notamment le commentaire d'Albert de Brudzewo sur les Theoricæ novæ intégré à l'enseignement de l'astronomie à l'université de Cracovie, enseigné pendant des décennies par différents professeurs, influençant ainsi les travaux futurs du jeune Copernic.17世纪法国著名学者皮埃尔·加桑迪（Pierre Gassendi，1592年1月22日 - 1655年10月24日）在介绍波伊巴赫生平时，称赞其救活了“近乎消亡”的天文学，并称“如果没有波伊巴赫，我们也不会有哥白尼”。De même, Pierre Gassendi, dans son introduction à la partie des Vitae consacré à Peurbach, a salué ce dernier pour avoir restauré l'astronomie « presque mourante » et a affirmé que si Peurbach n'avait pas existé, nous n'aurions pas eu Copernic non plus.《天文学新理论》更新了天文学的研究对象和研究方法，从而改变了天文学的地位，也在某种程度上打破了托勒密的“霸权”。故前哥白尼天文学实际并不像人们所认为的那样暗淡无光，波伊巴赫和其著作无疑在天文学史中起着至关重要的作用。教授的研究使我们能够更全面地理解科学发展的历史过程，突破对科学革命的传统理解，进一步探讨中世纪晚期科学的精彩和深刻之处。Les Theoricæ novæ ont renouvelé les objets et les méthodes de la recherche astronomique, modifiant le statut de l'astronomie et brisant, dans une certaine mesure, l'hégémonie de Ptolémée. Ainsi, l'astronomie pré-copernicienne n'est pas aussi obscure qu'on le croit, et Peurbach et ses travaux jouent sans aucun doute un rôle crucial dans l'histoire de l'astronomie. Les recherches de Mme Malpangotto nous permettent de mieux comprendre le processus historique du développement scientifique, de dépasser la conception traditionnelle de la révolution scientifique et d'explorer de manière plus avancée la splendeur et la profondeur de la science de la fin du Moyen Âge.
第二讲 维也纳、罗马、纽伦堡：雷格蒙塔努斯与人文主义
2. Vienne, Rome, Nuremberg : Regiomontanus et l’humanisme
十五世纪意大利大学的人文主义学者在正式授课前会进行一次开篇演讲。目的是通过赞美该学科的重要性及优越性，来激发学生的兴趣。这一传统要求演讲按照特定的结构展开。现存的演讲多数涉及修辞学和诗学等领域，而雷格蒙塔努斯（Regiomontanus，1436年6月6日– 1476年7月6日）1464年在帕多瓦大学进行的开篇演讲：l’Oratio in praelectione Alfragani，是目前已知初次采用该人文主义传统来颂扬数学学科的演讲。在演讲中，他首先介绍了数学学科，随后强调了数学知识的实际用处和“四艺”（Quadrivium，包括算术、几何、音乐及天文）的卓越性，最后批判了一些同时代的学者，称他们为天文学衰落的罪魁祸首。Les discours inauguraux étaient une habitude répandue chez les humanistes dans les universités italiennes au XVe siècle. L'objectif était de faire l’éloge et louer l'importance et la supériorité du sujet traité afin de susciter l'intérêt des étudiants pour le cours. Quelle que soit la discipline, cette tradition exigeait que l'exposé suive une structure spécifique. La plupart des discours inauguraux documentés traitent de domaines tels que la rhétorique et la poétique, mais celui donné par Regiomontanus à l'université de Padoue en 1464 : l’Oratio in praelectione Alfragani est la première version connue de cette tradition humaniste qui célèbre le sujet des mathématiques. Dans l’Oratio, Regiomontanus commence par une introduction au sujet des mathématiques, puis il souligne l'utilité de la connaissance et de l'excellence de toutes les disciplines du quadrivium. Il n’exclue pas enfin une critique de certains de ses contemporains, qu'il identifie comme responsables du déclin de l'astronomie.
雷格蒙塔努斯曾在维也纳大学学习，师从波伊巴赫。他对数学学科中世纪经典作品以及某些希腊作品的阿拉伯语/拉丁语版本都相当熟悉，对老师波伊巴赫推崇至极。人文主义者红衣主教贝萨利翁邀请波伊巴赫前往意大利，贝萨利翁致力于保护希腊文化遗产，古代文本，收集手稿等工作。不幸的是，波伊巴赫于1461年英年早逝，只留学生雷格蒙塔努斯一人抵达罗马。贝萨利翁的图书馆不仅收藏着丰富的希腊文化手稿，还是一个重要的学术交流场所。Malpangotto教授将结合雷格蒙塔努斯演讲的第一部分内容——对数学学科的梳理和介绍，重点讨论这位天文学家在意大利所经历的新文化体验，以及古文献的知识如何与当时的知识相结合，对其未来的研究活动产生了影响。
Regiomontanus a étudié à l'université de Vienne sous la tutelle de Peurbach. Il maîtrisait les œuvres grecques mathématiques classiques dans les versions arabo- latines élaborés au cours de la ‘renaissance du XIIe siècle’ selon la tradition médiévale de la discipline et tenait son professeur Peurbach en haute estime. Peurbach a été invité en Italie par le cardinal Bessarion, dévoué à la préservation du patrimoine culturel grec, des textes anciens et à la collecte de manuscrits. Malheureusement, Peurbach est décédé jeune en 1461 et son étudiant Regiomontanus est arrivé seul à Rome. La bibliothèque de Bessarion n'était pas seulement une riche collection de manuscrits de la culture grecque, mais aussi un lieu important d'échanges scientifiques entre les savants. Mme Malpangotto a combiné la première partie de l’exposée de Regiomontanus - un compendium et une introduction au sujet des mathématiques - avec une discussion axée sur la nouvelle expérience culturelle de l'astronome en Italie et sur la manière dont les anciens documents ont été utilisés pour comprendre la culture grecque ancienne et la culture humaniste de l’époque. Comment les connaissances anciennes, combinées à celles de l'époque, ont influencé ses futures activités de recherche ?雷格蒙塔努斯在演讲中分别介绍了几何、算术、天文学、音乐和光学等属于数学范畴的学科，追溯其发展历程，说明了它们的研究对象，并强调这些学科是如何诞生并传播给拉丁人的。Dans l’Oratio, Regiomontanus a présenté les disciplines relevant des mathématiques, telles que la géométrie, l'arithmétique, l'astronomie, la musique et l'optique, respectivement. Il a retracé le développement de ces disciplines, expliqué leurs objets d'étude et souligné comment elles sont nées et se sont répandues chez les Latins.这一部分演讲隐含着对翻译问题的探讨。在外来文化传入及数学知识传播的过程中，翻译不可或缺。雷格蒙塔努斯提到了波爱修、提沃利的柏拉图、克雷莫纳的杰勒德和圣卡西亚诺的伊阿科波等学者，他们对重要文献的翻译或发展做出了贡献。事实上，从古代到12世纪再到15世纪，翻译一直发挥着重要作用。人文学者对源于拜占庭或意大利南部（大希腊）的“新古代文献”的发现，使这些内容得以重见天日，并直接能作用于当时的知识。雷格蒙塔努斯不仅热衷于发现新手稿并翻译，而且具备完成这项工作的能力：抵达意大利后他就开始学习希腊语，并且他有着深厚的数学知识积累。这两者结合，使他能够发现新的内容，并正确评价该内容的科学意义。正是雷格蒙塔努斯发现了丢番图（Diophante d'Alexandrie）所著丛书《算术》（Arithmetica）的第一份手稿。Cette section explore également de manière implicite la question de la traduction. La traduction est une étape indispensable dans le processus d'introduction de cultures étrangères et de diffusion des connaissances mathématiques. Regiomontanus mentionne des érudits tels que Boèce, Platon de Tivoli, Gérard de Crémone et Iacopo de San Cassiano, qui ont contribué à la traduction ou au développement de textes importants. En effet, les traductions ont joué un rôle important depuis l'Antiquité jusqu'au XIIe siècle et au XVe siècle. La découverte par les spécialistes des sciences humaines de « nouvelles oeuvres anciennes » d'origine byzantine ou de l’Italie du sud (Magna Grecia) les a fait revivre et a directement enrichi les connaissances de l'époque. Regiomontanus n'était pas seulement enthousiaste à l'idée de découvrir de nouveaux manuscrits et de les traduire, il avait aussi les capacités pour le faire : dès son arrivé en Italie il a voulu apprendre la langue grecque et depuis toujours il avait une connaissance approfondie des mathématiques, ce qui lui permettait de découvrir de nouveaux contenus et d'en évaluer la portée scientifique. C'est Regiomontanus qui a découvert le premier manuscrit de Arithmetica de Diophante d'Alexandrie.
除了希腊文化，雷格蒙塔努斯对波斯人、印度人、拉丁人和阿拉伯人等不同文化对天文学的贡献均不吝赞美之词。正因天文学，阿拉伯数学家重要性更为突出。自7世纪以来，阿拉伯人将希腊文化的珍宝翻译成阿拉伯语，然后在希腊文化的基础上发展了新的知识。这些成果在十二世纪的文艺复兴时期又由以提沃利的柏拉图（Platon de Tivoli）和克雷莫纳的杰拉德（Gérard de Crémone）等中世纪拉丁语翻译家传播到拉丁语国家。Outre la culture grecque, Regiomontanus n'hésite pas à faire l'éloge des contributions de différentes cultures à l'astronomie, telles que les Perses, les Indiens, les Latins et les Arabes. En particulier, l'importance des mathématiciens arabes est plus marquée en ce qui concerne leurs contributions à l'astronomie. Depuis le VIIe siècle, les Arabes ont traduit les trésors de la culture grecque en arabe et ont ensuite créé de nouvelles connaissances basées sur la culture grecque. Ces résultats ont été diffusés dans les pays de langue latine au XIIe siècle, par des traducteurs latins médiévaux.至于希腊文化中的天文学，雷格蒙塔努斯在演讲中称托勒密为重要作者（“Author atque princeps”）。有趣的是，他在演讲中明确引用了托勒密“第七卷的第三个命题”的内容，却没有提及是出自哪本著作。根据Malpangotto教授，这处遗漏涉及到一场有关托勒密作品翻译的争论。争论涉及贝萨里翁主教的翻译计划，以及特里波岑德（Georges de Trébizonde）的翻译和对提奥（Théon d’Alexandrie）的评论。作为红衣主教贝萨利翁的天文学家，雷格蒙塔努斯的演讲受到了立场的影响。他采取了唯一可能的解决方案，即不提及具体引用托勒密的哪本著作，以避免引起争议。En ce qui concerne l'astronomie dans la culture grecque, Regiomontanus qualifie Ptolémée d'auteur important (« author atque princeps »). Il est intéressant de noter qu'il cite explicitement la « troisième proposition du septième livre » de Ptolémée sans mentionner de quel livre il s'agit. Selon Mme Malpangotto cet oubli est dû à une controverse. La controverse concernait le programme de traduction du cardinal Bessarion, ainsi que la traduction et le commentaire de Georges de Trébizonde sur Théon d'Alexandrie. En tant qu'astronome du cardinal Bessarion, l’Oratio de Regiomontanus a été influencé par cette position. Il adopta la seule solution possible pour éviter la controverse en ne mentionnant pas le titre de cette référence spécifique à l’Almageste de Ptolémée.雷格蒙塔努斯代表了十五世纪渴望重新发现新希腊科学著作的人文主义数学家们的热情。这种热情从12世纪中世纪文艺复兴一直延续至十六世纪，而不变的特点是，当人们感到知识的潜力和知识的组合已经枯竭，再也找不到令人满意的答案以回应提出的新问题时，他们并非将目光投向未来，而是回溯到过去：寻求希腊罗马文化的文本。在这些文本中，他们寻找灵感的源泉和思想的食粮，从中汲取新的动力。Regiomontanus représente l'enthousiasme des mathématiciens humanistes du XVe siècle, désireux de redécouvrir les écrits des nouvelles sciences grecques. La constante de cet enthousiasme, qui s'est poursuivi depuis la Renaissance médiévale du XIIe siècle jusqu'au XVI siècle, est que lorsque l'on sent que le potentiel de connaissances et les combinaisons de connaissances ont été épuisés, et que l'on ne peut plus trouver de réponses satisfaisantes aux nouvelles questions posées, on ne se tourne pas vers l'avenir, mais plutôt vers le passé : on recherche les textes de la culture gréco-romaine. Dans ces textes, on cherche des sources d'inspiration et de réflexion pour y puiser de nouvelles impulsions.
第三讲 几何学与天文学中的球体：从古代到文艺复兴时期的图形选择解读
3. La sphère entre géométrie et astronomie : une interprétation des choix graphiques de l'Antiquité à la Renaissance
第三次讲座深入探讨了狄奥多修斯 （Théodose de Tripoli）的《球面学》（Les Sphériques）中图形呈现的演变，分析了它们从古代到文艺复兴时期的表现形式，并强调了命题文字与图形之间的复杂关系。Malpangotto教授认为，这部作品的精髓在于，作者坚信文字和图形都不能孤立地满足整体理解的需要。几何球体作为弧线和圆等元素的基本基底，提供了一系列图形选择，也就是呈现球面和点线方式的选择。而这些选择的不同体现于狄奥多修斯《球体论》几个世纪以来表现形式的变化。La troisième conférence s'est penchée sur l'évolution de la représentation graphique dans Les Sphériques de Théodose de Tripoli, en analysant leurs manifestations dans les différentes éditions et traductions de de l'Antiquité à la Renaissance et en mettant en lumière la relation complexe entre le texte et la représentation graphique. D’après Mme Malpangotto l'essence des Sphériques réside dans la conviction de Théodose que ni le texte ni la représentation graphique ne peuvent être isolés pour répondre aux besoins de la compréhension globale du contenu de l’œuvre. Les Sphériques traitent les propriétés des cercles déterminés sur la surface sphérique par le passage de plan différemment inclinés. La sphère, en tant que substrat de base pour des éléments tels que les arcs et les cercles, offre une gamme de choix graphiques. Et les différences dans ces choix se reflètent dans l'évolution de la présentation du des Sphériques de Théodose au cours des siècles.
狄奥多修斯的《球面学》完成于公元前一世纪，由59个命题组成，分为三卷本。狄奥多修斯的著作为球面几何学奠定了基础，并对天文学的发展起着重要作用。从古代到文艺复兴时期的传播过程中，它与大多数希腊数学著作一样，留下了丰富的手稿资料。在9世纪，这些著作被翻译成阿拉伯语，丰富了阿拉伯世界的星象科学和天文研究。12世纪，以阿拉伯语译本为基础，再次翻译为拉丁文。这时有两个拉丁语版本的《球面学》：一版为更忠于希腊传统的克雷莫纳的杰拉德（Gérard de Crémone）译本；另一版为改造篇幅较大，内容更加丰富，进行了大量重新阐释的提沃利的柏拉图（Platon de Tivoli）版本。后者更为广泛流传，在1558年之前有三次重印。而1558年标志着《球面学》传播的转折点，随着印刷术的发展，学者们不再依赖于中世纪的手抄本，而是转向文艺复兴，对数学知识进行全面的更新。这一年产生了两个不同的版本：巴黎的让·佩纳（Jean Pena）的译本更接近整理历史文献的方式，选择了更接近作品原始形式和语言的呈现方式；而毛罗利科（Francesco Maurolico）在墨西拿出版的毛罗利科传统版本（ex traditione Maurolyci）则更具创新性，使《球面学》的翻译进入了最成熟的阶段。Composée au premier siècle avant J.-C., les Sphériques de Théodose se composent de 59 propositions en trois volumes. L'œuvre de Théodose a jeté les bases de la géométrie sphérique et a joué un rôle important dans le développement de l'astronomie. Lors de sa transmission de l'Antiquité à la Renaissance, cet ouvrage a laissé derrière lui un grand nombre de manuscrits, comme la plupart des ouvrages mathématiques grecs. Au 9e siècle, les ouvrages ont été traduits en arabe, apportant une mine de connaissances à la science et à la recherche astronomique dans le monde arabe. Au 12e siècle, la traduction arabe a servi de base à une autre traduction en latin. À cette époque, il existe deux versions latines des Sphériques : celle de Gérard de Crémone, plus fidèle à la tradition grecque, et celle de Platon de Tivoli, qui l'a transformée en une version plus riche et beaucoup plus réinterprétée. Cette dernière fut plus largement diffusée et fut réimprimée trois fois avant 1558. L'année 1558 marque un tournant dans la diffusion des Sphériques : avec le développement de l'imprimerie, les érudits ne s'appuient plus sur les manuscrits médiévaux, mais se tournent vers la Renaissance pour une mise à jour complète des connaissances mathématiques. Cette année-là, deux éditions différentes voient le jour : la traduction de Jean Pena publiée à Paris est plus proche de la collation de documents historiques, choisissant une présentation plus proche de la forme et de la langue originales de l'œuvre ; tandis que la version ex traditione Maurolyci, publiée à Messine par Francesco Maurolico, est plus innovante, donnant à l'œuvre une forme nouvelle et plus originale.Malpangotto教授认为古希腊手稿显示作者根据处理的命题，选择了两种截然不同的呈现方法：第一部分（命题I.1—命题II.16）倾向于以非具象的方式表现球体，侧重于几何细节，类似于欧几里得《几何原本》的延伸，遵循了图形绘制的传统。而第二部分（命题II.17及之后的命题）更偏向球面几何学，命题中的所有元素都会在球体中体现，提供了更为现实的整体视野。本部分的内容也与天文学有着更深的联系。即使在 16 世纪的第一个印刷版本中，这种二元性也依然存在。Mme Malpangotto considère que les manuscrits grecs anciens montrent que l'auteur a choisi deux présentations distinctes en fonction des propositions traitées : la première partie (Proposition I.1-Proposition II.16) privilégie une représentation non figurative de la sphère, en se concentrant sur les détails géométriques, comme une extension des Eléments d'Euclide, suivant la tradition du dessin graphique. La deuxième partie (proposition II.17 et propositions suivantes), en revanche, est plus orientée vers la géométrie sphérique, tous les éléments de la proposition étant représentés dans la sphère, ce qui donne une vision plus réaliste de l'ensemble. Le contenu de cette partie est également plus profondément lié à l'astronomie. Cette dualité subsiste même dans les premières éditions imprimées du XVIe siècle.
柏拉图的提沃利在保留传统图形的同时，对文本进行了一些实质性的修改。而文艺复兴时期的毛罗利科，不仅增加了命题，修改了论证的方式，还引入全新的方式和视角对传统的图示进行解读。球体的重要性在于它作为实体的背景而存在，所有的图解变转向三维，所有元素以成比例的方式在球体中体现，以现实主义的方式展现了可视化的效果。毛罗利科还采用了荒诞演示法（Démonstration par l’absurde），以一种“不合逻辑”的方式来反向论证不可能发生的情况。（如II.8所示，四条长度相等的弧线是不能以所示图形在一个球体上同时出现的）。Platon de Tivoli, tout en conservant le graphisme traditionnel, a surtout apporté des modifications substantielles au texte (ajouts de propositions et de définitions, déplacement de propositions du livre 3 au livre 2). Maurolico, en revanche, a ajouté des propositions, modifié l'argumentation et introduit des manières et des perspectives entièrement nouvelles d'interpréter la figure traditionnelle. Toutes les illustrations deviennent tridimensionnelles et tous les éléments sont représentés dans la sphère ce qui permet de présenter la visualisation de manière réaliste. Lorsque Maurolico utilise la démonstration par l’absurde, il évite les représentations graphiques réalistes tridimensionnelles, reconnaissant l'incompatibilité de l'absurde avec une telle approche. (Comme le montre la proposition II.8, car dans ce cas quatre arcs de même longueur ne peuvent pas apparaître simultanément sur une sphère). De même, dans ses démonstrations par la consequentia mirabilis, une méthode similaire à l’absurde mais distincte, Maurolico prend des précautions similaires quant aux représentations graphiques.
最后Malpangotto教授提及了克拉乌（Clavius）的版本，该版本在采用毛罗利科图形的基础上，加入了一个象征性的大圆来代表球体。因为此时古代数学的重新发现已基本完成，克拉乌以方便教学为目标采用了简化图像的策略。Enfin, la professeure Malpangotto a fait référence à la version de Clavius qui, tout en adoptant les figures de Maurolico, a adopté une représentation de la sphérique dans toutes les propositions est réaliste en éliminant les distinctons des versions précédentes. La redécouverte des mathématiques anciennes étant largement achevée, Clavius a adopté une stratégie de simplification des images dans un souci de clarté pédagogique.
狄奥多修斯的《球面学》是几个世纪以来形成不同解释的不同思想观点的鲜活见证。总之，这项深入的研究以球体图形的演变反映了不同时期对图形功能的理解，突显了不同时期几何学、天文学或演示方法的主导地位。这些表现形式的变化实则并不是一个逐渐进化或完善的过程，构想和方式重叠的部分也显而易见。最大的差异之一——球体是存在还是缺席，实际上仅取决于作者想要传达的信息。Les Sphériques de Théodose est un témoignage vivant des différentes approches au cours des siècles. Dans l'ensemble, cette étude approfondie reflète la compréhension de la fonction de la figure à différentes époques avec l'évolution de la figure de la sphère, soulignant la dominance de méthodes géométriques, astronomiques ou démonstratives. Ces changements de présentation n'étaient pas en fait un processus d'évolution ou de raffinement, et les superpositions dans la conception et l'approche sont évidents. L'une des différences les plus importantes - la présence ou l'absence de la sphère - ne dépend en fait que du message que l'auteur veut faire passer.感谢Michela Malpangotto老师、Oscar Deperrois老师、马洁宁博士对本文给予的建议。感谢马洁宁博士的翻译贡献。Remerciements à Madame Michela Malpangotto, Monsieur Oscar Deperrois et Madame Ma Jiening pour leurs conseils à cette rédaction, à Madame Ma Jiening pour sa traduction soignée.
